Топология

Введение в науку

Классическая математика –  это математика древней Греции и Египта, и она начиналась с геометрии. Эта наука находила многообразные применения на практике. В первую очередь, для предсказания смены сезонов, для определения времени засевания полей и их разметки, для подсчета величины снятого урожая. На геометрии строились все астрономические наблюдения и, соответственно, на нее опирались расчеты движения кораблей.

 

На границе XIX-XX веков от геометрии отделилась совершенно новая область – топология, которая, собственно, и определила развитие математики XX века. В топологию ушли те геометрические структуры, которые оказались наиболее фундаментальными, наиболее простыми и, как выяснилось впоследствии, наиболее тесно связанными с физикой XX века. Заслуга в этом принадлежит великому французскому математику Анри Пуанкаре, который выделил топологические структуры и разработал язык для их описания. Если говорить о разнице между геометрией и топологией, то в геометрии главную роль играет расстояние. Про две точки на одном острове важно понимать, сколько времени потребуется, чтобы дойти из одной точки в другую, каково расстояние между точками, какова структура пути – можно ли дойти по равнине или надо подниматься в гору, а затем спускаться.

 

С точки же зрения топологии главным вопросом является, можно ли вообще дойти от одной точки до другой, расположены ли эти две точки на одном острове или они лежат на разных островах. Можно ли доплыть из одного озера до другого по протокам, или этих протоков нет, и два озера друг от друга отделены. То есть вопросы топологии – это вопросы гораздо более простые и, тем самым, лежащие в основе всего того, что мы используем для описания окружающего нас пространства.

 

Топология стала одной из основных отраслей математики в XX веке не в последнюю очередь потому, что нашла своё применение в физике. Как раз на рубеже веков физика перестала быть линейной. Выяснилось, что ньютоновский мир, в котором наше пространство одинаково и равномерно протяженно по всем направлениям, не является достаточно точным описанием реальности. Потребовалась, в чём опять-таки, принял решающее участие Пуанкаре, разработка представления о нашем мире как о чем-то изогнутом, скрученном. И для описания этого неплоского мира топология оказалась самым подходящим инструментом.

 

Что такое топология? Есть два термина «Топология» — один из них просто обозначает некоторую математическую структуру, второй — несет за собой целую науку. Наука эта заключается в изучение свойств предмета, которые не изменятся при его деформации.

Пример 1.
Чашка бублик.

Мы видим, что кружка непрерывными деформациями переходит в бублик (в простонародье «двухмерный тор»). Было замечено, что топология изучает, то что остается неизменным при таких деформациях. В данном случае неизменным остается количество «дырок» в предмете — она одна. Пока оставим как есть, чуть позже разберемся наверняка)

 

Внесем ясности

Итак, надеюсь парочка примеров привнесла некоторой наглядности к происходящему.

Попробуем формализовать это все простым языком.

Будем считать что мы работаем с пластилиновыми фигурками, и пластилин можем растягивать, сжимать, при этом запрещены склеивания разных точек и разрывы. Гомеоморфными называются фигуры, которые переводятся друг в друга непрерывными деформациями описанными чуть ранее.

 

Очень полезный случай — сфера с ручками. У сферы может быть 0 ручек — тогда это просто сфера, может быть одна — тогда это бублик (в простонародье «двухмерный тор») и т.д.

Так почему же сфера с ручками — обособляется среди других фигур? Все очень просто — любая фигура гомеоморфна сфере с некоторым количеством ручек. То есть по сути у нас больше ничего нет.

Любой объемный предмет устроен как сфера с некоторым количеством ручек. Будь то чашка, ложка, вилка (ложка=вилка!), компьютерная мышь, человек.

 

Вот такая вот достаточно содержательная теорема доказана. Не нами и не сейчас. Точнее она доказана для гораздо более общей ситуации. Мы ограничивались рассмотрением фигур слепленных из пластилина и без полостей. Это влечет следующие неприятности:

1) мы никак не можем получить неориентируемую поверхность (Бутылка Клейна, Лента Мёбиуса, проективная плоскость),

2)ограничиваемся двухмерными поверхностями (н/п: сфера — двухмерная поверхность),

3)не можем получить поверхности, фигуры простирающиеся на бесконечность (можно конечно такое представить, но никакого пластилина не хватит).

Лента Мёбиуса

Бутылка Клейна

Комментарий: изображено самопересечение, что мы запрещали в начале. На самом деле если рассматривать вложение в четырехмерное пространство, то можно избавиться от самопересечений, но «БолееЧемТрехМерные» пространства — ненаглядны.

 

Неориентируемые поверхности примечательны тем, что они не разделяют пространство на две части, например т.к. сфера.

Но не все так плохо. А точнее, все так же хорошо как и в ориентируемом случае — любая неориентируемая двухмерная поверхность (правильно так же добавить: компактная, связная, без края) гомеоморфна сфере с некоторым количеством «пленок Мёбиуса») и ручек. К слову Бутылка Клейна — сфера с двумя пленками Мёбиуса.

Поделиться постом
Have your say!
0 0
1 Comment
  1. Для углубления в тему, можете подойти к нам во время перемены, передадим вам пару книжек.

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>