Эволюция чисел

Смотри-ка, их множество!

Представления древних греков о числах ограничивались множеством рациональных чисел. Значит ли это, что их понимание было довольно примитивным? Нет, ни в коем случае! Современное понятие действительного числа хоть и требует высокой степени абстракции, но частично оно у них имелось.

Евдокс Книдский, собственной персоной

Для иллюстрации достаточно взять теорию Евдокса (древнегреческого математика). Дело в том, что пифагорейцы заметили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. А всего-то требовалось, чтобы в отношении m/n, где величина m – сторона, а n – диагональ, первая была целым числом, а вторая – натуральным. Тогда Евдокс и решил ввести широкое понятие геометрической величины, или длины отрезка. Говоря простыми словами, он открыл геометрическую модель вещественных чисел. И оттуда пошло: отрезки на прямой можно складывать и умножать, а все однородные числа, неважно дробные они или целочисленные, можно сравнивать. Более того, теория Евдокса удивительно схожа с современной теорией, а ведь, на секундочку, она была разработана не менее 2000 лет назад!

Занимательно, что дроби в Древней Греции записывались различным образом. Один из вариантов предполагал написание знаменателя над дробной чертой, а числителя – под.

Отдельного внимания требует история отрицательных чисел. Древние цивилизации Египта, Вавилона и Греции не применяли числа с отрицательным знаком под влиянием мнения о бессмысленности подобных чисел. Тем более, немногие умели с ними управляться. В III веке Диофант хоть и знал правило знаков, но решая уравнение вида 4x + 20 = 0 пришел к абсурдному, по его словам, результату. Узаконивание отрицательных чисел происходило постепенно: признание в Китае произошло в III веке, в Индии тремя столетиями позже, а в Европе так и вовсе тянули до XVII века. И какое же им нашли применение? В вычислении долгов и недостач! В дальнейшем потребовались десятки лет до полноценного равноправия знаков.

Даже в XVII веке Паскаль считал что 0 – 4 = 0, так как “ничто не может быть меньше, чем ничто”

Вернемся к вещественным числам, определенным Евдоксом. Зная, что вещественные, или действительные, числа являются совокупностью рациональных и иррациональных множеств, стоит также упомянуть об их представлении. С современной точки зрения про действительные числа принято думать, как о точках на прямой. Если хочется большей наглядности, за числа можно брать отрезки прямой. В любом случае, важная деталь заключается в том, чтобы обозначить на прямой прежде всего две точки: ноль и единицу, в качестве начала координат и единицы измерения.

Условия Соблюдены

Однако, есть иная интересная интерпретация, которая бывает полезна в некоторых случаях. Про действительные числа можно думать как про некоторые операции, которые мы производим над точками прямой. Например, умножение на действительное число, скажем на 2, можно понимать как растяжение прямой в два раза: 0 стоит на месте, а все точки растягиваются, все расстояние увеличивается в два раза. Умножение на -1 можно понимать как то, что мы берем и отражаем прямую относительно нуля или переворачиваем ее в плоскости, так что правая часть становится левой и наоборот. Пожалуй, это самый простой способ убедить себя в том, что -1 в квадрате равно 1, потому что, когда мы два раза прямую перевернем, она вернется на место.

Термин “числовая прямая” обычно употребляется в качестве синонима множества вещественных чисел.

Следующий этап развития понятия числа – это комплексные числа, появившиеся из необходимости решать алгебраические уравнения. Бытует заблуждение, что началось все с поиска корней квадратного уравнения, что никоим образом не соответствует истинной картине. Попробуем это продемонстрировать:

Любое квадратное уравнение представимо в виде:

ax² = bx + c

Парабола прямую не пропустит

Геометрический смысл подобной записи заключается в том, что мы ищем точки пересечения параболы y = x² и прямой y = bx + c. Тут все предельно просто. Три варианта значения дискриминанта предполагают: две различные точки пересечения, одна точка пересечения или их отсутствие. То есть в случае отрицательного подкоренного выражения, решение прекращалось (геометрически-то смысла нет!).

Иное дело обстояло с кубическим уравнениями. Уравнение представленное в виде ax³ = bx + c обозначало схожее действие – нахождение точек пересечения кубической параболы и прямой. Вот только существенное отличие в том, что точки пересечения существовали всегда, хотя бы из геометрических соображений. Так и возникла потребность в комплексных числах – начиналось все с кубических уравнений.

Мало кто знает, но ударение в этом слове зависит от значения. Число комплЕксное, но подход кОмплексный!

Тут началось нечто занимательное. Попытки вывести формулу для решения кубических уравнений (и не только) быстро выявили необычную особенность. Формулы неизбежно приводили к появлению корней с отрицательным подкоренным выражением, которые в конечном итоге взаимоуничтожались, выдавая в ответе вещественное число. Получалось, что с действительными числами иногда написать формулу нельзя, а с комплексными можно!

Проиллюстрируем на примере. Итальянский математик Кардано вывел формулу для решения неполных кубических уравнений вида x³ + kx + b = 0.

Возьмем уравнение x³ – 15x – 4 = 0 и вычислим для него Ф = -121.

Вот незадача! Так ведь тут потребуется вычислить корень из отрицательного числа! Другой итальянский математик прекрасно справился с данной задачей. Идея Рафаэля Бомбелли заключалась в следующем: давайте проигнорируем корень из -1 и представим, что он обладает теми же свойствами, что и обычные числа (сложение, умножение, возведение в степень). Тогда вот к чему он пришел:

 

Проверить это легко, возводя в куб получившуюся сумму/разность. Но самое интересное то, что происходит на следующем этапе:

Как мы видим, “несуществующие” числа взаимоуничтожились, оставив целую четверку. Ответ легко проверяется подстановкой.

Весомой практической пользы от этой формулы в свое время не было. Уже тогда были разработаны эффективные численные методы для решения уравнений любой степени с достаточной точностью. Однако, странная особенность формулы стала прорывом в комплексную плоскость. Фокус, лежащий в основе работы формулы, удивил Европу, тогда же и была введена мнимая единица.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Во избежание двусмысленности, следует применять определение «число, квадрат которого равен -1»

Комплексные числа также можно интерпретировать геометрически, отождествляя их с точками на плоскости. Таким образом, их понимают как числа двухмерные вида z = x + iy, где (x, y) – координаты соответствующей точки или радиус-вектор. Плоскость здесь называют комплексной, вещественные числа на которой принадлежат оси Ox, а мнимая единица изображается единицей на оси Oy. Само собой приходит понимание вещественных чисел, как чисел одномерных.

Комплексная плоскость

Есть еще одна полезная интерпретация: можно представлять себе комплексные числа как операции или операторы на плоскости. Например, умножение на комплексное число, не являющееся действительным, — это поворот, вращение плоскости вокруг центра, вокруг начала координат, сопровождающееся равномерным растяжением всей плоскости.

Бурное развитие комплексного анализа в XIX веке спровоцировало необходимость вывести понятие числа на новый уровень. Попытка была предпринята ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в направлении изобретения трехмерных чисел. Однако, таковых с наличием свойств предшественников не имелось, а математик с горя придумал числа четырехмерные.

Для открытых им «четырёхчленных чисел» Гамильтон ввел название кватернионы — от лат. quaterni “по четыре”. Само же множество приобрело символ H.

По аналогии с комплексными числами, кватернионы записываются в виде формальной суммы q = a + bi + cj + dk, где i, j, k – кватернионные единицы, аналоги мнимой. Значимое различие в том, что данные единицы не обладают коммутативностью, что делает результат произведения зависимым от порядка множителей. Простыми словами, i*j не равно j*i.

Новая таблица умножения

Долгое время последователи Гамильтона, так называемые кватернионисты, лелеяли надежду на то, что кватернионы окажутся еще полезнее, чем комплексные числа. К сожалению, полезнее они не оказались, но их пользу никто не отрицает. Применение они нашли в современной компьютерной графике и системах навигации, благодаря возможности описания различного рода вращения объектов в пространстве.

Математика + графика = твоя игрушка

Англичанин Артур Кэли предпринял следующий шаг в развитии понятия числа. Этим шагом стали октонионы (или октавы) – множество 8-мерных чисел, озаглавленное символом O. Представление свое формальная сумма получила в виде восьми слагаемых, семь из которых имеют при себе свои аналоги мнимых единиц. Тут же имеется и своя таблица умножения.

Препятствием стало отсутствие набора важных свойств у октав. Если кватернионы потеряли коммутативность, то у 8-мерных чисел не имеется даже ассоциативности. Разве что деление на ненулевое число определено, что уже теряется у 16-мерных чисел. Эти удивительные особенности – результат совсем недавних исследователей, зачинатели которых еще не успели потерять жизнь реальную и обрести мемориальную на страницах учебников.

Таким образом, дальнейшее развитие понятия числа непременно натыкается на отсутствие основополагающих свойств чисел. Хоть современной алгебре и известны еще большие обобщения, но они скорее используются в дебрях математического мира для очень специфичных задач.

Поделиться постом
Written by MrKasimov
Программист и фанат научной фантастики. В свободное время пропагандирую технооптимизм и математическую составляющую вселенной.
Have your say!
0 0
1 Comment
  1. Интересненько

    Reply

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>