Математическая Составляющая

В данном цикле статей мы будем рассматривать математическую составляющую(статьи этой очень интересной книги) нашей жизни, а в частности сегодня: математику интернета, кривую поворота и дробление камней в почках(ага).

Математика интернета

Как и другие сложные системы, состоящие из большого числа «свободных» элементов, интернет становится средой, в целом имеющей устойчивые свойства, не зависящие от беспорядка в мелочах и поддающиеся исследованию математическими методами.

Интернет можно представить в виде графа(множество точек [вершин графа], соединенных конечным числом дуг [рёбер графа]). Вершины – это интернет‐сайты, а рёбра — гиперссылки, идущие с одних сайтов на другие. Ребра этого графа — ориентированные (в ссылках важно, кто на кого ссылается), некоторые из них — кратные (несколько ссылок с одного сайта на другой), есть и петли (ссылки между страницами одного и того же сайта).интернет граф

Построенный веб‐граф — настоящий монстр с миллиардами вершин и рёбер. Этот граф постоянно меняется: добавляются и исчезают сайты, пропадают и появляются ссылки. Но при всех изменениях, некоторые свойства интернета остаются неизменными на протяжении всей истории его исследования. Вот несколько примеров таких «устойчивых» свойств.

Веб‐граф разрежен. В нём лишь в несколько раз больше рёбер, чем вершин. Казалось бы, странное дело — возможны любые ссылки, а рёбер всё равно мало.

Несмотря на разреженность, интернет‐мир очень тесен. А именно, от любого сайта до любого другого можно по ссылкам перейти за 5—6 «кликов» (знаменитый закон «шести рукопожатий»).

В веб‐графе высока вероятность того, что «соседи» данной вершины (сайты, связанные ссылками с данным) сами связаны ребром: «мои знакомые знакомы между собой».

Интернет как целое устойчив к случайным атакам на сайты. А именно, если уничтожение сайтов происходит независимо и с одинаковой вероятностью, то веб‐граф с вероятностью, близкой к 1, сохраняет «гигантскую» связную компоненту. Эта компонента сохраняется даже при прицельной атаке на хабы — вершины наибольших степеней — пока доля атакованных хабов не превысит некоторое критическое значение.

Для изучения интернета необходимо уметь строить модель «случайного графа», которая с высокой вероятностью обладает ожидаемыми свойствами реального интернета. При этом для практических нужд, да и для чисто математических целей, крайне важно, чтобы модель не была слишком сложной. Эта трудная и привлекательная задача полностью не решена.

Построение хорошей математической модели интернета сразу же даёт качественно новые инструменты для улучшения информационного поиска, выявления спама, прогнозирования распространения информации в социальных сетях и в интернете в целом.

С другой стороны, математические модели интернета оказываются весьма похожими на модели биологических сообществ или модели межбанковского взаимодействия. И хотя изучение биологических или финансовых сообществ началось значительно раньше, чем появился интернет, интенсивность развития последнего и достижения в его изучении делают взаимное влияние всех этих моделей благотворным.

Поэтому математика интернета востребована и биологами (предсказание эпидемий), и создателями лекарств (бактериальные сообщества, живущие в организме человека, тоже похожи на интернет), и финансистами (риски возникновения кризисов).

Изучение подобных систем — один из центральных разделов прикладной математики и неиссякаемый источник новых задач для всей математики.

Кривая поворота


Псс, подписывайтесь на наш Telegram канал. Там есть мемы.


Прохождение поворота на трассе — демонстрация мастерства пилота в «Формуле‐1». Но с этой задачей ежедневно сталкиваются и рядовые водители, и машинисты поездов. А можно ли проектировать дороги так, чтобы уменьшить «стрессы» на поворотах для водителей, пассажиров и даже для техники?

Очевидно, что дорога должна быть гладкой, без изломов. Но для скоростных трасс этого недостаточно.

Представим дорогу в виде прямой, переходящей в дугу окружности. На прямолинейном участке во время движения руль не повёрнут. При въезде на участок дуги окружности его необходимо резко повернуть. Пассажиры почувствуют толчок. Понятно, что описанный «толчок» при вхождении в такой поворот испытывает и техника. Но если водитель автомашины ещё может попытаться «сгладить» ситуацию за счёт выбора траектории, то машинист поезда такого выбора не имеет, и при неудачной геометрии полотна страдать будут все — от пассажиров до рельсов (последние будут быстро изнашиваться).

Итак, непосредственная склейка прямой и окружности в данной ситуации — решение не лучшее. Возникает задача расчёта переходной кривой — части дороги, осуществляющей «плавный» переход с прямолинейного участка на дугу окружности постоянного радиуса.

В математике у кривых есть важная характеристика — кривизна. У окружности радиуса R кривизна равна 1/R, у прямой кривизна равна 0. Для математическая составляющая кривойпроизвольной гладкой кривой на плоскости кривизна в заданной точке определяется с помощью соприкасающейся окружности, дуга которой в окрестности точки «похожа» на дугу кривой.

Можно ли найти такую переходную кривую, чтобы её кривизна менялась линейно в зависимости от пройденного пути? Тогда при движении с постоянной (по мо дулю) скоростью руль автомобиля нужно было бы поворачивать равномерно.

Такие кривые существуют, они называются спиралями Корню или клотоидами. Для расчётов спирали Корню сложны, но в построении переходных кривых служат важной отправной точкой.

Дробление камней в почках

В организме человека как побочный результат происходящего в нём обмена веществ иногда образуются камни (например, в почках). Камни беспокоят, даже могут угрожать жизни, поэтому с ними приходится бороться.

Литотрипсия (от древнегреческого  — камень) — один из методов дистанционного разрушения камней с помощью ударных волн. Принцип работы многих аппаратов дистанционного воздействия основан на геометрических свойствах эллипса.

Эллипсом называется геомематематическая составляющая эллипсатрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Это определение сразу приводит к способу построения эллипса. Привяжем концы нити к двум кнопкам, а их воткнём в лист бумаги. Если натянуть нить с помощью карандаша, поставить его на лист и, всё время сохраняя нить натянутой, провести линию, то получится дуга эллипса. Дело в том, что нить всё время будет иметь форму ломаной, состоящей из отрезков, соединяющих карандаш и кнопки‐фокусы. Сумма длин этих отрезков постоянна и равна длине нити.

Как и парабола, эллипс обладает оптическим свойством. Если поместить точечный источник излучения («лампочку») в один из фокусов эллипса и включить его, то лучи, отразившись от эллипса, соберутся во втором фокусе. При этом все лучи придут во второй фокус одновременно, так как для каждого луча длина пройденного пути будет одна и та же (по определению эллипса).

Именно это оптическое свойство эллипса используется в дистанционной литотрипсии.

При вращении эллипса вокруг прямой, проходящей через фокусы, получается эллипсоид вращения. В каждом сечении эллипсоида плоскостью, проходящей через ось вращения, получаются равные эллипсы с общими фокусами, поэтому эллипсоид тоже обладает оптическим свойством.

Отражатель аппарата дистанционной литотрипсии — часть эллипсоида, «чаша», примыкающая к одному из фокусов, в котором размещается источник излучения. Пациента помещают так, чтобы совместить положение второго фокуса и положение камня — мишени волновой атаки.математическая составляющая камней в почках

Конечно, излучение проходит и через ткани, окружающие камень, но только в фокусе одномоментно концентрируется вся энергия излучения, становясь и разрушающей, и целительной силой.

Приведём геометрическое объяснение оптического свойства эллипса.

Вышедший из фокуса луч, достигнув эллипса, отражается по закону «угол падения равен углу отражения» (отражение от кривой — это отражение от касательной к кривой в этой точке).

Если точку отражения луча соединить и со вторым фокусом, то получаются два отрезка нити из геометрического определения эллипса. На касательной к эллипсу, проведённой в точке отражения луча, все остальные точки лежат вне эллипса, поэтому для них сумма расстояний до фокусов будет больше.

Воспользуемся теперь результатом фольклорной «задачи о Красной Шапочке», в которой внучка должна дойти от своего дома до реки (прямой), наполнить ведро и отнести его в дом бабушки. Кратчайший путь характеризуется тем, что отрезки, соединяющие дома с точкой «водозабора» на берегу, должны быть наклонены к прямой под одинаковыми углами.

В нашем случае дома — фокусы, река — касательная, кратчайший путь — отрезки нити, «рисующей» эллипс. Следовательно, эти отрезки образуют с касательной равные углы, а сама нить становится для луча «путеводной».

А как применяете математику в жизни вы? Присылайте ваши ответы сюда. Читайте больше статей про математическую составляющую здесь.

Поделиться постом
Written by Saydolim
Очень рад, что вы дошли до сюда!
Have your say!
0 0

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>