Ползти или не ползти

“Да сколько всё это может тянуться?!” – думал бесконечно маленький и лёгкий муравей, ползя по бесконечно эластичной веревке. Один конец её был привязан к стене. Второй – к буксировочному крюку автомобиля, который с постоянной скоростью удалялся перпендикулярно стене по пыльной дороге. Муравей с негодованием смотрел ему вслед, но упорно продолжал ползти – он не мог сдаться. Интересно, догонит муравей автомобиль когда-нибудь, ведь верёвка перед ним всё время растягивается? “ЭЭЭ, но она же растягивается и за ним, значит, он приближается к цели” – напрашивается интуитивный аргумент. Давайте проверим гипотезу, призвав на помощь Калкулуса. Если на этом моменте у вас дернулась рука, можете продолжить её движение и перейти сразу к TL;DR ниже. А пока формализуем задачу.

Пусть скорость автомобиля \( v = 10 ^м/_с \) , конец веревки, привязанный к нему, находится в координате ​\( c = 10 м\)​, скорость муравья  ​\( \alpha = 1 ^{см}/_с \)​.

Расставим координаты ​\( \psi \)​ вдоль веревки с началом в \( \psi​ = 0\) и концом в \( \psi = 1\)​, другими словами, введём новую систему координат и будем конвертировать реальные координаты в неё. При растяжении  веревки теперь все точки \( \psi \)​ остаются на месте (потому что точки начала и конца верёвки одни и те же – ​\( 0 \)​ и \( 1\)​). В момент времени ​\( t \geq 0 \)​ точка ​на \( x = X \)​ находится на \( \psi = \frac{X}{c+vt} \)​. Теперь скорость \( \alpha \) в системе ​\( x \)​ равна \( \frac{\alpha}{c+vt} \) в системе \( \psi \)​. И если записать позицию муравья в момент времени ​\( t \)​ в системе \( \psi \)​ как ​\( \phi(t) \)​, а скорость в момент \( t \)​ в системе \( \psi \) как \( \phi'(t) \) (производная координаты относительно времени есть скорость изменения координаты, или просто скорость муравья), мы получим, что:​\[ \phi'(t) = \frac{\alpha}{c + vt} \]​​Но это производная функции координаты, а мы хотим знать саму функцию координаты. Для этого воспользуемся знанием, что первообразная производной некой функции есть сама функция + некая константа, чтобы различать первообразные:​\[\therefore \phi(t)= \int \frac{\alpha}{c+vt} dt= \frac{\alpha}{v}\ln(c+vt)+k \] , где ​\( k \)​ – некоторая константа, а знак ​\( \therefore \)​ , или “следовательно”, я поставил для солидности. Всё, функцию получили, теперь нас интересует ​\( k. \)​ Посмотрим на функцию при значении ​\( 0 \)​, то есть в момент времени​ \( t=0 \)​. Тогда \[0=\frac{\alpha}{v}\ln(c)+k \] и ​\( k=-\frac{\alpha}{v}\ln(c) \)​. Подставим значение функции ​\( 1 \)​ и найденное значение ​\( k \)​: \[1=\frac{\alpha}{v}\ln(c+vt)-\frac{\alpha}{v}\ln(c) \] Тут воспользуемся правилом вычитания логарифмов и получим: \[ 1=\frac{\alpha}{v}\ln(\frac{c+vt}{c}) \] \[ \frac{v}{a}=\ln(\frac{c+vt}{c}) \] Теперь посмотрим на натуральный логарифм. Его основание – число ​\( e \)​, про него есть отдельная статья. Мы можем возвести число \( e \) в степени, показателями которых будут обе части уравнения. \[e^{\ln(\frac{c+vt}{c})} = e^{\frac{v}{a}} \] \[ \frac{c+vt}{c} = e^{\frac{v}{a}} \] \[ c+vt = сe^{\frac{v}{a}} \] \[ vt = c(e^{\frac{v}{a}}-1) \] \[ t = \frac{c}{v}(e^{\frac{v}{a}}-1) \]​ Ухх, наконец-то нашли выражение для ​\( t \)​ при \( \phi(t)=1 \). Теперь можно сюда подставить всё, что мы знаем \[ t = \frac{10м}{10^м/_с}(2,7183^{\frac{1000^{см}/_с}{1^{см}/_с}}-1) \] Момент истины:

\[ t = 1,9701\times10^{434} \]

TL;DR Догонит

Для тех, кто не понял, откуда взялось это правило с интегралом дроби, вот видос.

P.S. Lurk moar here, Ǝnglish..

 

Поделиться постом
Have your say!
0 0

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>