Сумма всех натуральных чисел? -1/12

Всем Шалом!

Сумма всех натуральных чисел

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+… ∞ = 112 

Наверняка вы уже встречались с этим мозговыносящим и, на первый взгляд, контринтуитивным выражением(как и многие научные революции воспринимались общественностью).  В данной статье мы узнаем кто такой Рамануджан, причем тут дзета-функция Римана и почему сумма всех натуральных чисел равна  112.

Несмотря на расходимость этого ряда в традиционном смысле, некоторые способы позволяют получить значение натурального ряда : аналитическиое продолжение дзета функции Римана и суммирование по Рамануджану.

Используем дзета-функцию Римана

Дзета функция Римана определяется рядом Дирихле.

\[ {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\ldots ,} \]

где ​\( {\displaystyle \displaystyle s\in \mathbb {C} } \)

Как вы могли заметить, значение функции в точке ​\( {\displaystyle \displaystyle s} = -1 \)​ и дает нам нужное выражение, сумму всех натуральных чисел. То есть, нам надо доказать, что ζ(−1) = −1/12. Следующий способ использует связь между дзета-функцией Римана и эта-функцией Дирихле(знакочередующийся ряд Дирихле).

\[ {\displaystyle {\begin{alignedat}{8}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots &\\2\cdot 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\cdot 2^{-s}&&{}+2\cdot 4^{-s}&&{}+2\cdot 6^{-s}+\cdots &\\\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s)\\\end{alignedat}}} \]

В тождестве ​\( {\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)} \)​, подставляем = -1 и получаем −3ζ(−1)=η(−1).  По формуле суммирования Аббеля можно легко получить значение η(−1):

\[ {\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\nearrow 1}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\nearrow 1}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}} \]

Делим на -3 и получаем -1/12.

Суммирование методом Раманджуна

В 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом.

Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8го февраля 1913. Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить „Бесконечные ряды“ Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. … Я ответил ему, что, согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда: 1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12. Узнав это, вы сию же минуту укажете в направлении психиатрической лечебницы. Уверяю, вы не сможете проследить нить рассуждений в моём доказательстве этого факта, если я попытаюсь изложить их в единственном письме. …

Письмо Рамануджана профессору математики Х. Г. Харди.

Метод суммирования Рамануджана заключается в изолировании постоянного члена в формуле Эйлера — Маклорена для частичных сумм ряда. Для некоторой функции f, классическая сумма Рамануджана для ряда \( {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }f(k)} \) определена как

\[ {\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),} \]

где (2k−1) представляет собой (2k−1)-ю производную функции f и B2k является 2k-м числом БернуллиB2 = 1/6B4 = −1/30 и т. д. Принимая f(x) = x, первая производная f равна 1, а все остальные члены стремятся к нулю, поэтому:

Для избежания противоречий, современная теория метода суммирования Рамануджана требует, чтобы функция f являлась «регулярной» в том смысле, что её производные высших порядков убывают достаточно быстро для того, чтобы оставшиеся члены в формуле Эйлера — Маклорена стремились к 0. Стоит отметить, что Рамануджан неявно подразумевал это свойство. Требование регулярности помогает избежать использования метода суммирования Рамануджана для рядов типа 0 + 2 + 0 + 4 + … потому, что не существует регулярной функции, которая выражалась бы значениями такого ряда. Такой ряд должен интерпретироваться с использованием регуляризацией дзета-функцией.

Применение

Значение ​\( {\displaystyle -{\frac {1}{12}}} \)​ встречается в теории бозонных струн при попытке рассчитать возможные энергетические уровни струны, а именно низший энергетический уровень.

Регуляризация ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … также встречается при расчёте эффекта Казимира для скалярного поля в одномерном пространстве. Похожие вычисления возникают для трёхмерного пространства, однако в этом случае вместо дзета-функции Римана используются реальные аналитические ряды Эйзенштейна(почти Эйнштейна).

TL;DR

Сумма всех натуральных чисел – это бесконечность, но если использовать другие способы суммирования, то получаем \( {\displaystyle -{\frac {1}{12}}} \)​.

Поделиться постом
Written by Saydolim
Очень рад, что вы дошли до сюда!
Have your say!
0 0

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>