Долой пятый постулат!

Самый первый наскальный художник столкнулся с проблемой: показать 3д на 2д. И с тех давних пор разные люди в разное время предлагали разные решения. Эта статья – о теории перспективы, и сойдутся здесь параллельные прямые, и в четырех точках пересекутся здесь окружности.

Но сначала пара слов о том, что же есть, когда нет перспективы. И я не о депрессии, а о проецировании. Вспомните египетскую живопись, к примеру. Она вся – ортогональные проекции. Вспомните черчение: виды спереди, слева, сверху. И по двум из этих видов можно восстановить третий (это так называемый метод Монжа – метод восстанавливать 3д объект по двум ортогональным проекциям). Еще есть изометрия с теоремой Польке… Но вернемся к перспективе, в конце-то концов.

Предположим, я циклоп. И у меня один глаз с длинными ресницами на большой красивой голове. В мой глаз попадают лучи света от всего, что я вижу. Можно сказать, что мой глаз испускает лучи зрения. Их совокупность представляет собой конус зрения. Если я рассеку конус плоскостью, то на сечении у меня окажется довольно-таки правдоподобное изображение мира.

Итаак, теория перспективы! Проективная геометрия! Геометрия живописи! Возрожденные в эпоху Возрождения идеи Евклида! О да, изображения в перспективе – огромнейшее достижение в решении проблемы первого наскального художника и его преемников.

И вот мы приблизились к объяснению названия статьи. Как бы нам того ни не хотелось, то, что мы видим, и то, что есть на самом деле, в реальности, – не одно и то же. Посмотрите на рельсы железной дороги. Эти параллельные пересекаются на горизонте. И точка пересечения называется точкой схода. Точка схода не имеет своего прообраза в реальности, что немножечко не понравилось Дезаргу, лионскому архитектору и математику. И он взял и добавил в обычную плоскость горсть бесконечно удаленных точек, где бы пересеклись параллельные прямые. (Кстати говоря, не горсть, а бесконечно удаленную прямую). Когда я это прочитала, мне вспомнилась фраза “чем бы дитя не тешилось, лишь бы не плакало”. На самом же деле это кажущееся незначительным дополнение способно заставить кричать и плакать от эстетического удовольствия. (К слову, теперь все прямые, параллельные рельсам, сойдутся в одной точке.) Ну а разгадка такова. Если любые прямые пересекаются, то понятие параллельности никому не нужно, и аксиома параллельности Евклида тоже никому не нужна. Но что же дальше?

Дальше я хочу нарисовать параллелепипед в перспективе. Бесконечно удаленная прямая превращается в линию горизонта. Неужели я в XXI веке должна протыкать полотно иголками зрения, как делал Альбрехт Дюрер?!?! Кстати, это разгадка изображения записи.

Нет, не должна.))) Ставлю задачу формально: 1) для прямой в горизонтальной плоскости найти ее точку схода в плоскости картины на рандомно выбранном горизонте и точку пересечения с основанием картины; 2) для двух точек на этой прямой найти образы в картинной плоскости. Дорогой читатель, я не буду здесь приводить объяснение, оно будет выглядеть сложным, хотя на самом деле таковым не является. Я призываю подумать самим :). Просто представьте, что вы должны нарисовать нечто идеально отображающее то, что вы видите. Чтоб убрать листок бумаги от глаз и не увидеть различий в форме.

//способ архитекторов, для темы аудиенции у Гугла.

3 слона, которые поддерживают проективную геометрию

А теперь самый смак в знакомстве с проективной геометрией: теоремы Паппа, Паскаля и Дезарга. Вас тоже настораживают ситуации, когда через 3 точки проходит 1 прямая и когда 3 прямые проходят через одну точку? Инцидентны. Вас тоже настораживает, когда 1 прямая инцидентна 3 точкам или 3 точки инцидентны 1 прямой? Что ж, насторожитесь)

a. Теорема Паппа. Пусть l и m – две прямые на плоскости; А, В, С – различные точки прямой l, а А’, В’, С’ – различные точки прямой m. Тогда точки пересечения трех пар накрест лежащих прямых АВ’ и А’В, ВС’ и В’С, С А’ и С’А принадлежат одной прямой.

б. Теорема Паскаля. Пусть А, В, С, А’, В’, С’ – шесть точек, принадлежащих некоторому коническому сечению. Тогда точки пересечения трех пар накрест лежащих прямых АВ’ и А’В, ВС’ и В’С, СА’ и С’А принадлежат одной прямой.

Теорема Дезарга. Пусть ABC и А’В’С – два треугольника, такие, что прямые АА’, ВВ’ и СС’ сходятся в одной точке S. Тогда точки пересечения соответственных сторон этих треугольников АВ и А’В’, ВС и В’С’, СА и С’А’ лежат на одной прямой. Постройте сечение пирамиды с треугольником в основании и поймите, что такое след 🙂

Но чудеса на этом не заканчиваются)) Возьмите 2 треугольника из теоремы Дезарга и пересеките их стороны всеми возможными способами. Получится 9 точек; 3 из них – на одной прямой, как и положено по теореме Дезарга. Но остальные 6 там тоже не рандомны. Ведь они лежат на некотором коническом сечении!

Просто магические принципы

В проективной геометрии изменяются и длины, и углы. Неизменными остаются только прямые и точки. И очень часто (всегда, на самом деле) их можно поменять местами. Самый простой пример: 2 точки определяют прямую и наоборот, 2 прямые определяют точку. А что если взять теоремку и заменить в ней слова “прямая” и “точка”? Что интересного тут, так это +одно верное утверждение, или +одна теорема, если пожелаете. Попробуйте с теоремами Паппа и Паскаля, это работает, неизвестно почему и неизменно верно. Это называется принцип двойственности.

Еще есть принцип непрерывности. Это узаконенный незаконный переход от частного к общему. К примеру, если что-то работает для окружности, это что-то работает и для всех других кривых второго порядка. Например, как изи доказать теорему Паскаля. Берем правильный шестиугольник, вписываем его в окружность. Его 3 пары противоположных сторон раньше были параллельными, теперь же они пересекаются в бесконечно далеких точках, которые лежат на одной очень далекой прямой, quod erat demonstrandum. Ну и вот. Работает для одного случая – работает для всех случаев! Не стоит наверно так удивляться, потому что проективная геометрия ничего не измеряет, и может разговаривать только об инцидентности точек и прямых, но все же… эти 2 принципа (авторства Понселе) выглядят, как магия.

Самый-самый хитрый читатель, исходя из вводного и предыдущего абзацев скажет: “А кривые второго порядка обычно пересекаются в четырех точках. А где еще 2 точки для окружностей, а?” Так вот. Они бесконечно далеко, и они комплексные (там было так написано, честно). И это финальный аккорд. Благодарю за ваше внимание.

Поделиться постом
Have your say!
0 0

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>